Question

【題目】已知是橢圓：的左焦點，，是橢圓上的兩個相異動點，若中點的橫坐標為1，則到直線距離的最小值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，由于同一點對稱性設斜率大于0，與橢圓聯立求出兩根之和，再由的中點的橫坐標求出參數之間的關系，由點到直線的距離公式求出到直線 距離．令參數部分為函數，求導，由函數的單調性求出函數的最大值，進而求出到直線的最小值．

解：由題意的方程可得：，

若直線的斜率不存在時，

則由題意可得的方程為：，

這時到直線的距離為2，

當直線的斜率存在且不會為0時，

由題意的對稱性設，

設方程為，，，，，

聯立直線與橢圓的方程可得：，

整理可得：，

△，

即，，，

因為中點的橫坐標為1，

所以，

即

所以到直線的距離

令，，

，

當，，單調遞增，

當，，單調遞減，

所以時最大，

且，

所以，

故答案為：．