Question

【題目】(導學號：05856310)

已知函數f(x)＝x＋＋ln x(a∈R)．

(Ⅰ)當a＝2時， 求函數f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若關于x的函數g(x)＝－f(x)＋ln x＋2e(e為自然對數的底數)有且只有一個零點，求實數a的值．

Answer 1

【答案】(1) f(x)的單調遞增區間為(1，＋∞)，函數f(x)的單調遞減區間為(0,1). (2) a＝e2＋

【解析】試題分析：（1）求出f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

（2）把方程化為 =x2﹣2ex+a，求得 h（x）=的最大值為 h（e）=，再求得m（x）=x2﹣2ex+a 的最小值 m（e）=a﹣e2，根據 a﹣e2=求出a的值．

試題解析：

(Ⅰ)由題知函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，

當a＝2時，f′(x)＝1－＋＝＝，

當x>1時f′(x)>0，當0<x<1時f′(x)<0，

∴函數f(x)的單調遞增區間為(1，＋∞)，函數f(x)的單調遞減區間為(0,1).

(Ⅱ)由g(x)＝－x－＋2e＝0得＝x＋－2e，化為＝x2－2ex＋a.

令h(x)＝，則h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝e，當0<x<e時，h′(x)>0; 當x>e時，h′(x)<0，∴函數h(x)在區間(0，e)上單調遞增，在區間(e，＋∞)上單調遞減，

∴當x＝e時，函數h(x)取得最大值，其值為h(e)＝.

而函數m(x)＝x2－2ex＋a＝(x－e)2＋a－e2，

當x＝e時，函數m(x)取得最小值，其值為m(e)＝a－e2，

∴當a－e2＝，即a＝e2＋時，方程－f(x)＋ln x＋2e＝0只有一個根.