Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線斜率為1,求函數的單調區間；

（2）若時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出，由,∴，令求得 的范圍，可得函數增區間，求得 的范圍，可得函數的減區間；（2）時，恒成立等價于恒成立，討論、，兩種情況，分別利用導數研究函數的單調性，求出函數的最小值，解不等式即可的結果.

試題解析：（1）∵ ,∴,∴，

∴ ,記，∴,

當時，,單減；

當時，, 單增，

∴,

故恒成立，所以在上單調遞增

（2）∵，令,∴，

當時，,∴在上單增，∴.

ⅰ）當即時，恒成立，即，∴在上單增，

∴，，所以．

ⅱ）當即時，∵在上單增，且，

當 時，，

∴使,即.

當時，，即單減；

當時，，即單增．

∴ ，

∴，，由，∴．

記,

∴，∴在上單調遞增，

∴，∴．

綜上.