Question

【題目】已知函數f（x）= （x2﹣2ax+3）．
（1）若f（x）的定義域為R，求a的取值范圍；
（2）若f（﹣1）=﹣3，求f（x）單調區間；
（3）是否存在實數a，使f（x）在（﹣∞，2）上為增函數？若存在，求出a的范圍？若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= （x2﹣2ax+3）的定義域為R，

∴x2﹣2ax+3＞0恒成立，△＜0，4a2﹣12＜0

即a的取值范圍﹣

（2）解：∵f（﹣1）=﹣3，∴a=2

∵f（x）= （x2﹣4x+3）．x2﹣4x+3＞0，x＜1或x＞3

設m（x）=x2﹣4x+3，對稱軸x=2，

∴在（﹣∞，1）上為減函數，在（3，+∞）上為增函數

根據符合函數單調性規律可判斷：

f（x）在（﹣∞，1）上為增函數，在（3，+∞）上為減函數

（3）解：函數f（x）= （x2﹣2ax+3）．

設n（x）=x2﹣2ax+3，

可知在（﹣∞，a）上為減函數，在（a，+∞）上為增函數

∵f（x）在（﹣∞，2）上為增函數

∴a≥2且4﹣4a+3≥0，a≥2且a≤ ，不可能成立．

不存在實數a，使f（x）在（﹣∞，2）上為增函數

【解析】（1）x2﹣2ax+3＞0恒成立，△＜0;（2）求出a轉化為二次函數問題;（3）根據符合函數單調性求解．