Question

【題目】已知函數 .

（Ⅰ）當時，求函數在處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅲ）若函數有兩個極值點，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，的單調遞增區間是，當時，的單調遞增區間是，，單調遞減區間是；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先對函數求導，求出切線方程得斜率，再求出該點的函數值，利用點斜式求解；（Ⅱ）利用導函數的正負判斷原函數的單調性，再分類討論；（Ⅲ）從函數在上有兩個極值點，表示，得到新的函數，再求最值.

試題解析：（I）當時，

則

所以切線方程為，

即為

（Ⅱ）

令

當即時，，函數在上單調遞增；

（2）當且，即時，由，得，

由，得或；

由，得.

綜上，當時，的單調遞增區間是；

當時，的單調遞增區間是，；

單調遞減區間是

（Ⅲ）函數在上有兩個極值點，由（Ⅱ）可得，

由則，，，

由，可得，，

令，

由，則，，

又，則，即在遞減，

即有，即，

即有實數的取值范圍為.