Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函數y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1，求a的值；
（2）在（1）的條件下，對任意t∈[1，2]，函數g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在區間（t，3）總存在極值，求m的取值范圍；
（3）若a=2，對于函數h（x）=（p-2）x-

p+2e

x

-3在[1，e]上至少存在一個x₀使得h（x₀）＞f（x₀）成立，求實數P的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
∴f′（x）=

a

x

-a，∵函數y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為1，
∴f′（2）=-

a

2

=1，解得a=-2．
（2）由（1）知，f（x）=-2lnx+2x-3，f′（x）=2-

2

x

，
∴g（x）=x³+（2+

m

2

）x²-2x，g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵函數g（x）在區間（t，3）總存在極值，
∴

g′(2)＜0 g′(3)＞0

解得-

37

3

＜m＜-9．
（3）由a=2得f（x）=2lnx-2x-3，令F（x）=h（x）-f（x）=px-

p+2e

x

-2lnx，則F′（x）=

px2-2x+p+2e

x2

，
①若p≤0，由于px-

p

x

≤0，-

2e

x

-2lnx＜0，故F（x）＜0，所以不存在x₀使得h（x₀）＞f（x₀）；
②若p＞0，此時F′（x）=

px2-2x+p+2e

x2

＞0，所以F（x）在[1，e]上是增函數，
∴F（x）_max=F（e）=pe-

p

e

-4，只要pe-

p

e

-4＞0即可，解得p＞

4e

e2-1

，
即p∈（

4e

e2-1

，+∞）．