Question

已知函數f（x）=

1

2

x²+lnx．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求證：當x＞1時，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³．

Answer 1

（1）依題意知函數的定義域為{x|x＞0}，
∵f′（x）=x+

1

x

，∴f′（x）＞0，
∴f（x）的單調增區間為（0，+∞）．
（2）證明：設g（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，
∴g′（x）=2x²-x-

1

x

，
∵當x＞1時，g′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上為增函數，
∴g（x）＞g（1）=

1

6

＞0，
∴當x＞1時，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³．