Question

【題目】在平面直角坐標系中，己知圓，且圓被直線截得的弦長為2.

（1）求圓的標準方程；

（2）若圓的切線在軸和軸上的截距相等，求切線的方程；

（3）若圓上存在點，由點向圓引一條切線，切點為，且滿足，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或或；（3）

【解析】

（1）將圓方程整理為標準方程形式，可知，得到圓心坐標和半徑；由垂徑定理可利用弦長構造出關于的方程，解方程求得，從而得到標準方程；（2）分為直線過原點和不過原點兩種情況，分別假設直線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構造方程求得結果；（3）設，根據且可整理出點軌跡方程為：；根據在圓上，則兩圓有公共點，根據圓與圓位置關系的判定可構造不等式，解不等式求得結果.

（1）圓方程可整理為：

圓的圓心坐標為，半徑

圓心到直線的距離：

截得的弦長為：，解得：

圓的標準方程為：

（2）①若直線過原點，可假設直線方程為：，即

直線與圓相切 圓心到直線距離，解得：

切線方程為：

②若直線不過原點，可假設直線方程為：，即

圓心到直線距離，解得：或

切線方程為或

綜上所述，切線方程為或或

（3）假設

，即

又直線與圓相切，切點為

即：，整理得：

又在圓上 兩圓有公共點

，解得：

即的取值范圍為：