Question

（本小題滿分12分）已知函數
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，若在區間上的最小值為-2，求的取值范圍；
（3）若對任意，且恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：（1）當時，.        ……1分
因為.所以切線方程是                          ……3分
（2）函數的定義域是. 
當時，
令，即，
所以或.                                                    ……4分
當，即時，在［1，e]上單調遞增，
所以在［1，e]上的最小值是；
當時，在［1，e]上的最小值是，不合題意；
當時，在（1，e）上單調遞減，
所以在［1，e]上的最小值是，不合題意
綜上的取值范圍.                                                 ……7分
（3）設，則，
只要在上單調遞增即可.                                     ……8分
而
當時，，此時在上單調遞增；              ……9分
當時，只需在上恒成立，因為，
只要，則需要，                                   ……10分
對于函數，過定點（0，1），對稱軸，
只需，即. 
綜上.                                                       ……12分
點評：導數是研究函數的一個有力的工具，研究函數時，不要忘記考查函數的定義域.