Question

（本小題滿分15分）

已知函數

（Ⅰ）求函數的極值；

（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點，如果存在曲線上的點，且，使得曲線在點處的切線∥，則稱為弦的伴隨切線。特別地，當，時，又稱為的λ——伴隨切線。

（ⅰ）求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；

（ⅱ）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線 ，并證明你的結論； 若不存在 ，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當時，沒有極值；

當時，的極大值為，沒有極小值。（Ⅱ）見解析        

【解析】（Ⅰ）  

當，，函數在內是增函數，

∴函數沒有極值。        當時，令，得。

當變化時，與變化情況如下表：

	＋	0	－
	單調遞增	極大值	單調遞減

∴當時，取得極大值。

綜上，當時，沒有極值；

當時，的極大值為，沒有極小值。          

（Ⅱ）（ⅰ）設是曲線上的任意兩點，要證明

有伴隨切線，只需證明存在點，使得

，且點不在上。

∵，即證存在，使得，即成立，且點不在上。    …………………8分

以下證明方程在內有解。…

記，則。

令，

∴，

∴在內是減函數，∴。

取，則，即。……9分

同理可證。∴。

∴函數在內有零點。

即方程在內有解。又對于函數取，則

可知，即點Q不在上。

是增函數，∴的零點是唯一的，

即方程在內有唯一解。

綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。

（ⅱ）取曲線C：，則曲線的任意一條弦均有伴隨切線。

證明如下：

設是曲線C上任意兩點，

則，

又，

即曲線C：的任意一條弦均有伴隨切線。  

注：只要考生給出一條滿足條件的曲線，并給出正確證明，均給滿分。若只給曲

線，沒有給出正確的證明，請酌情給分。

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）（ⅰ）設是曲線上的任意兩點，要證明

有伴隨切線，只需證明存在點，使得

，且點不在上。  ∵，即證存在，使得，

即成立，且點不在上。 ……………  8分

以下證明方程在內有解。

設。…

則。

記，

∴，

∴在內是增函數，

∴。   同理。。

∴方程在內有解。 又對于函數，

∵，，

可知，即點Q不在上。

又在內是增函數，

∴方程在內有唯一解。

綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。

（ⅱ）同解法一。