Question

若直線l：2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）與x軸相交于點A，與y軸相交于B，被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則|OA|+|OB|（O為坐標原點）的最小值為

 

．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標和圓的半徑，由直線被圓截得的弦長為4剛好為圓的直徑，得到直線過圓心，所以把圓心坐標代入直線方程得到a+b的值，根據a+b的值，利用基本不等式即可|OA|+|OB|（O為坐標原點）的最小值．

解答： 解：圓x²+y²+2x-4y+1=0可化為（x+1）²+（y-2）²=4
∵直線l被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長為4，
由直線被圓截取的弦長為4，圓的直徑也為4，得到直線過圓心，
把圓心坐標代入直線方程得：-2a-2a+2=0，即a+b=1，
|OA|+|OB|=

1

a

+

2

b

=（a+b）（

1

a

+

2

b

）=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

2

，當且僅當

b

a

=

2a

b

時，取等號．
∴|OA|+|OB|（O為坐標原點）的最小值為3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，以及基本不等式，根據題意得到已知直線過圓心是本題的突破點．