Question

已知函數(shù)f（x）=log 

1

2

（x+1-

a

x

）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t（x）=x+1-

a

x

，則函數(shù)t在[1，+∞）上單調(diào)遞增，且t（x）在[1，+∞）上為正實(shí)數(shù)；再分a=0、a＞0、a＜0三種情況，分別求得a的范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=log 

1

2

（x+1-

a

x

）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
令t（x）=x+1-

a

x

，則函數(shù)t在[1，+∞）上單調(diào)遞增，且t（x）在[1，+∞）上為正實(shí)數(shù)．
當(dāng)a=0 時(shí)，f（x）=log 

1

2

（x+1）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，滿足條件．
當(dāng)a＞0時(shí)，由t（1）=1+1-a＞0，解得0＜a＜2．
當(dāng)a＜0時(shí)，由t（x）=x+1-

a

x

在[

-a

，+∞）上單調(diào)遞增，可得

-a

≤1，解得 a≥-1．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，2），
故答案為：[-1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．