Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn=n2+2n；數列{bn}是公比大于1的等比數列，且滿足b1+b4=9，b2b3=8．
（Ⅰ）分別求數列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=（﹣1）nSn+anbn ， 求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵Sn=n2+2n，∴當n=1時，a1=S1=3；
當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．當n=1時也成立，∴an=2n+1．
設等比數列{bn}的公比q＞1，∵b1+b4=9，b2b3=8．
∴ =9， q3=8，q＞1．
聯立解得b1=1，q=2．
∴bn=2n﹣1 ．
（II）cn=（﹣1）nSn+anbn=（﹣1）n（n2+2n）+（2n+1）2n﹣1 ．
設數列{（﹣1）nSn}，{anbn}的前n項和分別為：An ， Bn ．
∵（﹣1）2k﹣1S2k﹣1+（﹣1）2kS2k=[（2k）2+22k]﹣[（2k﹣1）2+2（2k﹣1）]=4k+1，
則An=A2k=4×（1+2+…+k）+k=4× +k=k（2k+3）= ；
An=A2k﹣1=An+1﹣[（n+1）2+2（n+1）]= ﹣[（n+1）2﹣2（n+1）]=﹣ ．
Bn=3×1+5×2+7×22+…+（2n+1）2n﹣1 ，
2Bn=3×2+5×22+…+（2n﹣1）2n﹣2+（2n+1）2n ，
∴﹣Bn=3+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）2n= +1﹣（2n+1）2n=（1﹣2n）2n﹣1，
∴Bn=（2n﹣1）2n+1．
∴數列{cn}的前n項和Tn=
【解析】（I）由Sn=n2+2n，可得當n=1時，a1=S1=3；當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ． 即可得出an ．
設等比數列{bn}的公比q＞1，由b1+b4=9，b2b3=8．可得 =9， q3=8，q＞1．聯立解得即可得出．（II）cn=（﹣1）nSn+anbn=（﹣1）n（n2+2n）+（2n+1）2n﹣1 ． 設數列{（﹣1）nSn}，{anbn}的前n項和分別為：An ， Bn ． 利用“分組求和”與“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．