Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，， ，，為的中點(diǎn)．

（1）求異面直線(xiàn)，所成角的余弦值；

（2）點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用空間向量求線(xiàn)線(xiàn)角，先根據(jù)題意確定空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，表示直線(xiàn)方向向量，利用向量數(shù)量積求向量夾角余弦值，最后根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)角與向量夾角關(guān)系得線(xiàn)線(xiàn)角余弦值（2）利用空間向量求線(xiàn)面角，先根據(jù)題意確定空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組求面的法向量，利用向量數(shù)量積求向量夾角余弦值，最后根據(jù)線(xiàn)面角與向量夾角互余關(guān)系列等量關(guān)系，解出的值．

試題解析：（1）

因?yàn)?/span>平面，且平面，

所以，，

又因?yàn)?/span>，所以兩兩互相垂直．

分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則由，可得

，，，，，

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以．

所以，，…………2分

所以

，

所以異面直線(xiàn)，所成角的余弦值為．…………………………5分

（2）因?yàn)?/span>，所以，則，

，，

設(shè)平面的法向量為，

則 即 令，解得，，

所以是平面的一個(gè)法向量．……………………………7分

因?yàn)橹本�(xiàn)與平面所成角的正弦值為，

所以，

解得，

所以的值為．……………………………………………………………10分