【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，點
為坐標原點，若橢圓
與曲線
的交點分別為
（
下
上），且兩點滿足
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓上異于其頂點的任一點
，作
的兩條切線，切點分別為
，且直線
在
軸、
軸上的截距分別為
，證明：
為定值．
【答案】（1）
；（2）見解析．
【解析】試題分析：（1）設
，然后根據向量數量積求得
的值，再結合離心率求得
的值，由此求得橢圓方程；（2）．設點
，然后根據條件求得
的方程，從而求得直線
在軸、
軸上的截距為
，進而使問題得證．
試題解析：（1）設橢圓
的半焦距為
，設，則
，
由
，得
，∴
，①
又橢圓的離心率為
，所以
，②
又
，③
由①②③，解得
，
故橢圓的標準方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
（2）如圖，設點，由
是的切點知，
，
所以
四點在同一圓上，且圓的直徑為
，
則圓心為
，其方程為
，
即
，④
即點滿足話中④，又點都在上，
所以坐標也滿足方程
，⑤
⑤-④得直線的方程為
，
令
，得
；令
，得
，所以
，
又點在橢圓上，所以
，即
中，
即
，即
為定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
春雨教育同步作文系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節能減排，綠色生態”為主題，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新式藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本
（元）與月處理量
（噸）之間的函數關系可近似地表示為
，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為200元．
（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知命題
拋物線
的焦點
在橢圓
上.命題
直線
經過拋物線
的焦點，且直線
過橢圓
的左焦點
，
是真命題.
（I）求直線
的方程；
（II）直線
與拋物線相交于
、
，直線
、
，分別切拋物線于
，求
的交點
的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（其中
）
(Ⅰ) 若
在其定義域內為單調遞減函數，求
的取值范圍；
(Ⅱ) 是否存在實數
，使得當
時，不等式
恒成立，如果存在，求的取值范圍，如果不存在，說明理由（其中
是自然對數的底數，＝2.71828…）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2009年推出一種新型家用轎車，購買時費用為
萬元，每年應交付保險費、養路費及汽油費共
萬元，汽車的維修費為：第一年無維修費用，第二年為
萬元，從第三年起，每年的維修費均比上一年增加萬元.
（1）設該輛轎車使用
年的總費用（包括購買費用、保險費、養路費、汽油費及維修費）為
，求
的表達式；
（2）這種汽車使用多少年報廢最合算（即該車使用多少年，年平均費用最少）？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
為實數）．
（1）當
時，求函數
的圖象在點
處的切線方程；
（2）設函數
（其中
為常數），若函數
在區間
上不存在極值，且存在
滿足
，求
的取值范圍；
（3）已知
，求證：
．
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