Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知圓及點，．

（1）若直線平行于，與圓相交于，兩點，，求直線的方程；

（2）在圓上是否存在點，使得？若存在，求點的個數；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或．（2）．

【解析】

試題分析：（1）本題實質為直線被圓截得弦長問題，一般方法為利用垂徑定理進行轉化解決：先根據AB斜率得直線斜率，設直線方程，再根據AB長得弦長，最后根據垂徑定理得，根據圓心到直線的距離公式得代入得，解得或，（2）點既在圓上，又滿足，因此研究點的個數，實質研究兩曲線位置關系，先確定滿足的軌跡方程 ，利用直接法得，也為圓，所以根據兩圓位置關系可得點的個數

試題解析：（1）圓的標準方程為，所以圓心，半徑為．

因為，，，所以直線的斜率為，

設直線的方程為， ……………………………………………2分

則圓心到直線的距離為．…………………………4分

因為，

而，所以， ……………………………6分

解得或，

故直線的方程為或．…………………………………8分

（2）假設圓上存在點，設，則，

，

即，即， ………………………………10分

因為，……………………………………12分

所以圓與圓相交，

所以點的個數為．…………………………………………………………14分