Question

（本小題共14分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC1=4，M是棱CC1上一點．
（Ⅰ）求證：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分別是CC1，AB的中點，求證：CN //平面AB1M；
（Ⅲ）若，求二面角A-MB1-C的大小．

Answer 1

證明：（Ⅰ）因為三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，
所以CC1⊥BC．                    ……………………1分
因為AC=BC=2，，
所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． ……………………2分
因為AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A1．             ……………………3分
因為AM平面ACC1A1，

所以BC⊥AM．                     ……………………4分
（Ⅱ）連結A1B交AB1于P．             ……………………5分
因為三棱柱ABC-A1B1C1，
所以P是A1B的中點．
因為M，N分別是CC1，AB的中點，
所以NP // CM，且NP = CM，
所以四邊形MCNP是平行四邊形，     ……………………6分
所以CN//MP．                     ……………………7分
因為CN平面AB1M，MP平面AB1M，  ………………8分
所以CN //平面AB1M．              ……………………9分
（Ⅲ）因為BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，
以C為原點，CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系C-xyz．
因為，所以C（0,0,0），A（2,0,0），B1（0,2,4），，，
．                                         ……………………10分
設平面的法向量，則，．
即         ……………………11分
令，則，即．
又平面MB1C的一個法向量是，
所以．  ………………12分
由圖可知二面角A-MB1-C為銳角，
所以二面角A-MB1-C的大小為．                 ……………………14分

略