Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個焦點F₁，F₂和上下兩個頂點B₁，B₂是一個邊長為2且∠F₁B₁F₂為60°的菱形的四個頂點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點F₂的斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于E、F兩點，A為橢圓的右頂點，直線AE，AF分別交直線x＝3于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF₂的斜率為k′，求證： k·k′為定值．

Answer 1

（1）＝1（2）－

(1)解　由條件知a＝2，b＝，故所求橢圓方程為＝1.
(2)證明　設過點F₂(1,0)的直線l方程為：y＝k(x－1)，設點E(x₁，y₁)，點F(x₂，y₂)，將直線l方程y＝k(x－1)代入橢圓C的方程＝1，整理得：(4k²＋3)x²－8k²x＋4k²－12＝0，因為點F₂在橢圓內，所以直線l和橢圓相交，Δ>0恒成立，且x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
直線AE的方程為：y＝(x－2)，直線AF的方程為：y＝(x－2)，令x＝3得點M，N，∴點P坐標為，
直線PF₂的斜率為k′＝＝＝·.
將x₁＋x₂＝，x₁x₂＝代入上式得：
k′＝＝.
所以k·k′為定值－.