Question

如圖所示,設橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F₁、F₂,線段OF₁、OF₂的中點分別為B₁、B₂,且△AB₁B₂是面積為4的直角三角形.

(1)求該橢圓的離心率和標準方程;
(2)過B₁作直線交橢圓于P、Q兩點,使PB₂⊥QB₂,求△PB₂Q的面積.

Answer 1

(1) +=1     (2)

解:(1)設橢圓的標準方程為+=1(a>b>0),焦距為2c,則A(0,b),|OB₁|=|OB₂|=.
由=4得·c·b=4,
即bc=8.①
又△AB₁B₂是直角三角形,
且|OB₁|=|OB₂|,∴b=.②
由①②可得b=2,c=4.
∴a²=20.
∴橢圓的標準方程為+=1,離心率e==.
(2)由(1)知B₁(-2,0),B₂(2,0).
由題意知,直線PQ的傾斜角不為0,
故可設直線PQ的方程為x=my-2.
代入橢圓方程得(m²+5)y²-4my-16=0.(*)
設P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),
則y₁,y₂是方程(*)的兩根.
∴y₁+y₂=,y₁·y₂=-.
又=(x₁-2,y₁),=(x₂-2,y₂).
∴·=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂
=(my₁-4)(my₂-4)+y₁y₂
=(m²+1)y₁y₂-4m(y₁+y₂)+16
=--+16
=-.
由PB₂⊥B₂Q知·=0,
即-=0,
16m²-64=0,解得m=±2.
當m=2時,y₁+y₂=,y₁y₂=-,
|y₁-y₂|==.
=|B₁B₂|·|y₁-y₂|=.
當m=-2時,由橢圓的對稱性可得=.
綜上所述,△PB₂Q的面積為.