Question

【題目】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.

（1）求C1的離心率；

（2）設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）求出、，利用可得出關于、的齊次等式，可解得橢圓的離心率的值；

（2）由（1）可得出的方程為，聯立曲線與的方程，求出點的坐標，利用拋物線的定義結合可求得的值，進而可得出與的標準方程.

（1），軸且與橢圓相交于、兩點，

則直線的方程為，

聯立，解得，則，

拋物線的方程為，聯立，

解得，，

，即，，

即，即，

，解得，因此，橢圓的離心率為；

（2）由（1）知，，橢圓的方程為，

聯立，消去并整理得，

解得或（舍去），

由拋物線的定義可得，解得.

因此，曲線的標準方程為，

曲線的標準方程為.