Question

【題目】已知函數.

（1）若，則當時，討論的單調性；

（2）若，且當時，不等式在區間上有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】試題分析：

（1）函數的定義域為，且，．分類討論可得：

當時，在內單調遞減；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）原問題等價于當時，在區間上的最大值．

且，則.分類討論和兩種情況可得．據此求解關于實數a的不等式可得實數的取值范圍是．

試題解析：

（1）函數的定義域為，由得，

所以．

當時，，在內單調遞減；

當時，或，

所以，在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，或，

所以，在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）由題意，當時，在區間上的最大值．

當時，，

則.

①當時，，

故在上單調遞增，；

②當時，設的兩根分別為，

則，所以在上，

故在上單調遞增，．

綜上，當時，在區間上的最大值，

解得，所以實數的取值范圍是．