Question

如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點．

（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A－PB－E的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由D、E分別為AB、AC中點，得DE∥BC ．可得DE∥平面PBC    
（Ⅱ）連結PD，由PA=PB，得PD ⊥ AB． DE∥BC，BC ⊥ AB，推出DE ⊥ AB．
AB⊥平面PDE，得到AB⊥PE ．
（Ⅲ）證得PD平面ABC 。
以D為原點建立空間直角坐標系。
二面角的A－PB－E的大小為．

試題分析：（Ⅰ）D、E分別為AB、AC中點，\DE∥BC ．
DEË平面PBC，BCÌ平面PBC，∴DE∥平面PBC    
（Ⅱ）連結PD， PA=PB， PD ⊥ AB． DE∥BC，BC ⊥ AB， DE ⊥ AB．又AB⊥平面PDE，PEÌ平面PDE，AB⊥PE ．                      6分
（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD  AB，
 PD平面ABC．           7分
如圖，以D為原點建立空間直角坐標系

B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,,0) ,
 =(1,0, )， ="(0," , ）．
設平面PBE的法向量，
令     得．
DE⊥平面PAB，平面PAB的法向量為．
設二面角的A－PB－E大小為
由圖知，，，
二面角的A－PB－E的大小為．
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，本題利用空間向量，簡化了證明及計算過程。