如圖，在四棱錐
中，底面
為矩形，
為等邊三角形，
，點
為
中點，平面
平面
.
（1）求異面直線
和
所成角的余弦值；
（2）求二面角
的大小.
（1）異面直線
和
所成角的余弦值為
;（2）二面角
的大小為
.
試題分析：（1）建立如圖所示坐標系,寫出各點的空間坐標，利用
，
夾角的余弦，得出兩異面直線
和
所成角的余弦值. （2）利用平面
的法向量與平面
的法向量的夾角，求出二面角的大小.
試題解析：
解：取
的中點
，連接
，
為等邊三角形，
，又平面
平面
，
2分
以
為原點，過點
垂直
的直線為
軸，
為
軸，
為
軸建立如圖所示的空間直角坐標系
.
，不妨設
,依題意可得：
3分
（1）
,
從而
,
5分
于是異面直線
和
所成角的余弦值為
.6分
（2）因為
，所以
是平面
的法向量，8分
設平面
的法向量為
，又
，
由
即
，令
得
10分
于是
11分
從而二面角
的大小為
. 12分
練習冊系列答案
相關習題
科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖，在四棱錐
P－
ABCD中，
PC⊥底面
ABCD，底面
ABCD是直角梯形，
AB⊥
AD，
AB∥
CD，
AB＝2
AD＝2
CD＝2，
E是
PB的中點．
(1)求證：平面
EAC⊥平面
PBC；
(2)若二面角
P－
AC－
E的余弦值為
，求直線
PA與平面
EAC所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
在正三棱柱
ABC-A1B1C1中，
AB＝2，
AA1＝
，點
D為
AC的中點，點
E在線段
AA1上．
(1)當
AE∶
EA1＝1∶2時，求證
DE⊥
BC1；
(2)是否存在點
E，使二面角
D-BE-A等于60°，若存在求
AE的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：單選題
以下四組向量：
①
=(1，-2，1)，
=(-1，2，-1)；
②
=(8，4，0)，
=(2，1，0)；
③
=(1，0，-1)，
=(-3，0，3)；
④
=(-，1，-1)，
=(4，-3，3)其中互相平行的是（ �。�
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：填空題
已知
=（2，-1，2），
=（-1，3，-3），
=（13，6，λ），若向量
，
，共面，則λ=______．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：填空題
如圖所示，在直三棱柱
ABC－
A1B1C1中，底面是∠
ABC為直角的等腰直角三角形，
AC＝2
a，
BB1＝3
a，
D是
A1C1的中點，點
F在線段
AA1上，當
AF＝________時，
CF⊥平面
B1DF.
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：AB⊥PE；
（Ⅲ）求二面角A－PB－E的大�。�
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：填空題
若向量
圍繞原點按逆時針方向旋轉
得到向量
，則向量
的坐標為
．
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，
,
,則
( )
