Question

如圖，在多面體ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是邊長為2的等邊三角形，AE＝1，CD與平面ABDE所成角的正弦值為．

（Ⅰ）若F是線段CD的中點，證明：EF⊥面DBC;
（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的平面角的余弦值為．

試題分析：（Ⅰ）此題關鍵是建立空間坐標系，需要找三條兩兩垂直的直線，注意到△ABC是邊長為2的等邊三角形，可考慮取AB的中點O，則，取BD的中點為G，則，從而得到三條兩兩垂直的直線，這樣就可以建立空間坐標系，根據題中條件，求出個點坐標，要證明面，只需證平行平面的一個法向量即可，此題也可以用傳統方法來解；（Ⅱ）求二面角D－EC－B的平面角的余弦值，只需找出平面的一個法向量，利用法向量來求即可，值得注意的是，需要判斷二面角是鈍角還是銳角，否則求出的值不對.
試題解析：（Ⅰ）證明：取AB的中點O，連結OC,OD，則，即是與平面所成角，，取BD的中點為G，以為原點，為軸，為軸，為軸建立如圖空間直角坐標系，則，取BC的中點為M，則面
，所以，所以面；
 
（Ⅱ）解：由上面知： ，又取平面DEC的一個法向量，又，設平面BCE的一個法向量,由,由此得平面BCE的一個法向量  則，所以二面角的平面角的余弦值為．