Question

【題目】設函數

(1)求函數的單調增區間;

(2)當時,記,是否存在整數,使得關于的不等式有解?若存在,請求出的最小值;若不存在,請說明理由

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，的單調增區間為；時，的單調增區間為;（Ⅱ）0.

【解析】

試題

(1)，討論可得函數的單調性；

(2)，判斷函數的單調性并求出最值,則易得結論.

試題解析：

(1

當時,由,解得;

當時,由,解得;

當時,由,解得;

當時,由,解得;

綜上所述,當時,的單調遞增區間為;

當時,的單調遞增區間為;

當時,的單調遞增區間為;

(2)方法一:當時,,

在單調遞增,

,

所以存在唯一實數,使得,即,

=

記函數,則,

在上單調遞增,

所以,即.

,且為整數,得,

所以存在整數滿足題意,且的最小值為0.

方法二:當時,,

由得,當時,不等式有解,

下面證明:當時,不等式恒成立,

即證恒成立.

顯然,當時,不等式恒成立.

只需證明當時,恒成立.

即證明,令,

,由,得.

當;當;

=,

當時;恒成立.

綜上所述,存在整數滿足題意,且的最小值為0.