Question

【題目】某公司計劃在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過 300 分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘．甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．設該公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘.

（Ⅰ）用列出滿足條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域;

（Ⅱ）該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?

Answer 1

【答案】(1)詳見解析(2) 該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告使公司的收益最大，最大收益是70萬元.

【解析】試題分析：（I）根據廣告費用和收益列出約束條件，作出可行域；

（II）列出目標函數z=3000x+2000y，根據可行域判斷最優解的位置，列方程組解出最優解得出最大收益．

試題解析：（I）設該公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，則， 滿足的數學關系式為

該二次元不等式組等價于

做出二元一次不等式組所表示的平面區域

（II）設公司的收益為元，則目標函數為：

考慮，將它變形為.

這是斜率為，隨變化的一族平行直線，當截距最大，即最大.

又因為滿足約束條件，所以由圖可知，

當直線經過可行域上的點時，截距最大，即最大.

解方程組得,

代入目標函數得.

答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告使公司的收益最大，最大收益是70萬元.