Question

【題目】已知函數，其中

（Ⅰ）若，討論的單調性；

（Ⅱ）若，當時，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）首先求出函數的定義域，求出函數的導函數，再對和分類討論可得；

（Ⅱ）令，求得導函數為，再令，對求導得，對參數分類討論計算可得；

（Ⅰ）因為，所以．

所以．

①當時，由得；由得．

故在上單調遞減，在上單調遞增．

②當時，由得；由得．

故在上單調遞減，在上單調遞增

綜上，①當時在上單調遞減，在上單調遞增；

②當時在上單調遞減，在上單調遞增．

（Ⅱ）若，不等式轉化為當時，恒成立．

令，則．

令，則．

①當時，對任意，恒有，

所以在上單調遞增，所以，所以不合題意．

②當時，因為，所以，所以，即，

所以在上單調遞減，所以，即，

所以在上單調遞減，所以，

所以符合題意．

③當時，令，解得：令，解得．

所以在上單調遞增．所以，即，

所以在上單調遞增，所以當時，，

故不合題意．

綜合①②③可知，實數的取值范圍是．