Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其右頂點為，下頂點為，定點，的面積為，過點作與軸不重合的直線交橢圓于兩點，直線分別與軸交于兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）試探究的橫坐標的乘積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，

【解析】

（1）由三角形的面積、離心率列出方程組求解a、b，即可寫出橢圓方程；（2）設出直線的方程與點的坐標，求出直線BP、BQ的方程進而求出點M、N的橫坐標，兩橫坐標相乘并化簡為關于、的表達式，直線的方程與橢圓方程聯立并利用韋達定理求出、，代入橫坐標的乘積化簡即可證明.

（1）由已知，的坐標分別是由于的面積為，

①，又由，化簡得②，

①②兩式聯立解得：或（舍去），，

橢圓方程為；

（2）設直線的方程為，的坐標分別為

則直線的方程為，令，得點的橫坐標，

直線的方程為，令，得點的橫坐標，

把直線代入橢圓得，

由韋達定理得，

∴，是定值．