Question

【題目】已知函數

(1)若討論的單調性;

(2)當時,若函數與的圖象有且僅有一個交點,求的值(其中表示不超過的最大整數,如.

參考數據:

Answer 1

【答案】（1）當時， 在單調遞減；當時，在單調遞減；在單調遞增． （2）2

【解析】

（1）對進行求導，討論的取值范圍，令或，解不等式即可求解.

（2）兩函數有且僅有一個交點 ，則方程

即方程在只有一個根, 令，研究

的單調性，求出的零點，然后根據零點存在性定理判斷零點所在的區間即可.

解：（1）

對于函數

當時，則在單調遞減；

當時，令，則，解得

在單調遞減；

令，解得，所以在單調遞增．

（2）且兩函數有且僅有一個交點 ，則方程

即方程在只有一個根

令，則

令，則

在單調遞減，在上單調遞增，故

注意到在無零點，在僅有一個變號的零點

在 單調遞減，在單調遞增，注意到

根據題意為 的唯一零點即

消去，得：

令，可知函數在上單調遞增

，