Question

【題目】設(shè)，是拋物線上的兩個不同的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．若直線與的斜率之積為，則（ ）．

A.B.以為直徑的圓的面積大于

C.直線過定點(diǎn)D.點(diǎn)到直線的距離不大于2

Answer 1

【答案】CD

【解析】

通過軸時的特殊情況，判斷A、B選項(xiàng)不正確；當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線方程，通過推理論證，得出直線過定點(diǎn)，進(jìn)而得出點(diǎn)到直線的距離最大值即為O、Q兩點(diǎn)間的距離，進(jìn)而得出CD正確.

不妨設(shè)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，

①當(dāng)直線軸時，，由，

得，，

所以直線，的方程分別為：和．

與拋物線方程聯(lián)立，得，，

所以直線的方程為，此時，

以為直徑的圓的面積，故A、B不正確．

②當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，

與拋物線方程聯(lián)立消去，得，則．

設(shè)，，則．

因?yàn)?/span>，所以，

則，則，

所以，即，

所以直線的方程為，即．

綜上可知，直線為恒過定點(diǎn)的動直線，故C正確；

易知當(dāng)時，原點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為2，

即原點(diǎn)到直線的距離不大于2．故D正確．

故選：CD