Question

【題目】已知是橢圓（）的左頂點，左焦點是線段的中點，拋物線的準線恰好過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖所示，過點作斜率為的直線交橢圓于點，交軸于點，若為線段的中點，過作與直線垂直的直線，證明對于任意的（），直線過定點，并求出此定點坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由拋物線的準線恰好過點，可得，再由左焦點是線段的中點，可得，結合，即可求出橢圓的方程；（2）設直線的方程為，與橢圓的方程聯立，消去得關于的一元二次方程，結合韋達定理及點坐標，可表示出的坐標，則可得，從而得到直線的斜率，根據直線的方程即可得直線的方程，從而得出定點.

試題解析：（1）依題意得拋物線的準線為，所以恰好過點，

∴左頂點為， ，

∴橢圓的方程為．

（2）直線的方程為，與橢圓的方程聯立，消去得

設，則

∵為線段的中點

∴，

∴的坐標為，

則（），

所以直線的斜率為，

又直線的方程為，令，得，

∴直線的方程為，即直線，

∴直線過定點，此定點為．