Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率等于，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知、是橢圓上的兩點(diǎn)，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).

①若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值；

②當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，試問直線的斜率是否為定值，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線的斜率為定值。

【解析】試題分析：

（1）由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，再結(jié)合離心率可求得，從而可得橢圓的方程．（2）①設(shè)直線方程為，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后可得，然后由四邊形的特點(diǎn)得，根據(jù)函數(shù)的知識(shí)可得的最大值．②由可得直線的斜率之和為0，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元后可得，同理，然后根據(jù)斜率公式求得直線AB的斜率驗(yàn)證即可．

試題解析：

（1）由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，

∴，

∵，

∴

∴，

∴橢圓的方程為．

（2）①由題意設(shè)直線方程為，

由消去y整理得，

∵直線AB與橢圓交于兩點(diǎn)，

∴，解得．

設(shè)，

則，

又，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，取得最大，

即四邊形面積的最大值為．

②當(dāng)時(shí)，直線的斜率之和為0，

設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，

故直線的方程為，

由消去y整理得

，

∴，

同理．

∴，

∴，

故直線的斜率為定值．