Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若不等式的解集是，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)，若存在，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）;(3).

【解析】

（1）根據(jù)不等式的解集可以得到相對(duì)應(yīng)的不等式，再結(jié)合已知不等式直接求解即可；

（2）分類討論，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可；

（3）(方法1)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行配方，利用零點(diǎn)存在原理，結(jié)合一元二次方程根的分布性質(zhì)直接求解即可；

(方法2) 因?yàn)榇嬖?/span>，使得成立，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且至少有一根在內(nèi)，這樣結(jié)合一元二次方程根的分布性、函數(shù)的單調(diào)性直接求解即可.

（1）因?yàn)?/span>

，

所以

（2）當(dāng)時(shí)，不等式.

若，則不等式不恒成立.

則由題意可得解得

即的取值范圍是

（3）(方法1).

因?yàn)榇嬖?/span>，使得成立，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值有正有負(fù).

所以必須有，解得或 ①

若，即，亦即，則，于是必須滿足，所以. ②

若，即，則，必有，不滿足條件.

若，即，則，不滿足條件.

由①②解得的取值范圍是

(方法2)因?yàn)榇嬖?/span>，使得成立，

所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且至少有一根在內(nèi).

由，解得或 ①

當(dāng)時(shí)，，

由得，令 ，所以，，該函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以②

由①②得的取值范圍是.