Question

【題目】（本小題滿分12分）

已知拋物線C的方程C：y2="2" p x（p＞0）過點A（1，-2）.

（I）求拋物線C的方程，并求其準線方程；

（II）是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。

【答案】（I）拋物線C的方程為，其準線方程為（II）符合題意的直線l 存在，其方程為2x+y-1 =0.

【解析】

試題（Ⅰ）求拋物線標準方程，一般利用待定系數法，只需一個獨立條件確定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由拋物線方程確定其準線方程：，（Ⅱ）由題意設：，先由直線OA與的距離等于根據兩條平行線距離公式得：解得，再根據直線與拋物線C有公共點確定

試題解析：解 （1）將（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，

所以p＝2．

故所求的拋物線C的方程為

其準線方程為．

（2）假設存在符合題意的直線，

其方程為．

由得．

因為直線與拋物線C有公共點，

所以Δ＝4＋8t≥0，解得．

另一方面，由直線OA到的距離

可得，解得．

因為－1[－，＋∞），1∈[－，＋∞），

所以符合題意的直線存在，其方程為．

考點：拋物線方程，直線與拋物線位置關系

【名師點睛】求拋物線的標準方程的方法及流程

（1）方法：求拋物線的標準方程常用待定系數法，因為未知數只有p，所以只需一個條件確定p值即可．

（2）流程：因為拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量．

提醒：求標準方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標準方程有時可設為y2=mx或x2=my（m≠0）．

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】已知橢圓：的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過橢圓左焦點交橢圓于，為橢圓短軸的上頂點，當直線時，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據橢圓的幾何性質以及等邊三角形的性質，得到的一個關系式，結合求得的關系式，將點的坐標代入橢圓方程，由此求得的值，進而求得橢圓方程.（2）根據（1）求得點的坐標，進而求得和的斜率，寫出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理，利用弦長公式求得，由兩點間距離公式求得，進而求得三角形的面積.

（1）由題意知，即，，

即，

∵在橢圓上，∴，，，

所以橢圓的方程為.

（2），則，

，∴,

∴直線的方程為：，

將其代入：得：

設，

∴，,

，

又,

∴.