Question

【題目】已知不等式的解集為(1，t)，記函數.

(1)求證：函數y＝f(x)必有兩個不同的零點；

(2)若函數y＝f(x)的兩個零點分別為，，試將表示成以為自變量的函數，并求的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先根據不等式的解集為(1，t)證明，對于函數，由，可得必有兩個不同零點；（2）化簡等于，由不等式的解集為，可得有，化簡，利用二次函數的性質可得的范圍，從而求得的取值范圍.

(1)由題意知a＋b＋c＝0，且－ >1，a<0且 >1，

∴ac>0，

∴對于函數f(x)＝ax 2 ＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b) 2 ＋4ac>0，

∴函數y＝f(x)必有兩個不同零點．

(2)|m－n| 2 ＝(m＋n) 2 －4mn＝，

，

由不等式ax 2 ＋bx＋c>0的解集為(1，t)可知，

方程ax 2 ＋bx＋c＝0的兩個解分別為1和t(t>1)，

由根與系數的關系知 ＝t，

∴，t∈(1，＋∞)．

∴|m－n|> ，∴|m－n|的取值范圍為( ，＋∞)．