Question

【題目】在鈍角△ABC中，∠A為鈍角，令 = ， = ，若 =x +y （x，y∈R）．現給出下面結論：
①當x= 時，點D是△ABC的重心；
②記△ABD，△ACD的面積分別為S△ABD ， S△ACD ， 當x= 時， ；
③若點D在△ABC內部（不含邊界），則 的取值范圍是 ；
④若 =λ ，其中點E在直線BC上，則當x=4，y=3時，λ=5．
其中正確的有（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：①設BC的中點為M，則 = ，
當x=y= 時， = ，
∴D為AM靠近M的三等分點，故D為△ABC的重心．故①正確．
②設 ， ，則S△APD= S△ABD ， S△AQD= S△ACD ，
∵ ，∴S△APD=S△AQD ， 即 S△ABD= S△ACD ，
∴ ，故②正確．
③∵D在△ABC的內部，∴ ，作出平面區域如圖所示：

令 =k，則k為過點N（﹣2，﹣1）的點與平面區域內的點（x，y）的直線的斜率．
∴k的最小值為kNS= ，最大值為kNR=1．故③正確．
④當x=4，y=3時， ，
∵ ，∴ = ，
∵E在BC上，∴ =1，λ=7，故④錯誤．
所以答案是：①②③．