Question

【題目】已知曲線C：y2=4x，M：（x﹣1）2+y2=4（x≥1），直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）若 ，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若直線l與曲線C1相切，M（1，0），求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，可設(shè)l：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）

由 得：y2﹣4my﹣4n=0，

∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4n．

∴ ．

∴由 可得： ．

解得：n=2．

∴l(xiāng)：x=my+2，

∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)（2，0）．

（Ⅱ）∵直線l與曲線C1相切，M（1，0），顯然n≥3，

∴ ，

整理得：4m2=n2﹣2n﹣3．①

由（Ⅰ）及①可得：

∴ ，即 的取值范圍是（﹣∞，﹣8]

【解析】（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）代入到 ，求得x1x2+y1y2=﹣4，即n2﹣4n=﹣4，由此求得n=2．根據(jù)點(diǎn)A表示出AB的直線方程整理可知過(guò)定點(diǎn)（2，0），綜合結(jié)論可得．（Ⅱ）由直線與圓相切的性質(zhì)可得 ，變形可得4m2=n2﹣2n﹣3，結(jié)合（1）的方程可得 ，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得答案．