Question

設雙曲線C的中心在原點，以拋物線y2=2

3

x-4的頂點為雙曲線的右焦點，拋物線的準線為雙曲線的右準線．
（1）試求雙曲線C的方程；
（2）設直線l：y=2x+1與雙曲線C交于A、B兩點，求|AB|；
（3）對于直線L：y=kx+1，是否存在這樣的實數k，使直線L與雙曲線C的交點A、B關于直線y=ax（a為常數）對稱，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y²=2

3

x-4，即y²=2

3

（x-

2

3

），可知拋物線頂點為（

2

3

，0），準線方程為x=

3

6

．在雙曲線C中，中心在原點，右焦點（

2

3

，0），右準線x=

3

6

，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）由

y=2x+1 3x2-y2=1

，知3x²-（2x+1）²=1，由此能求出|AB|．
（3）設存在實數k，使A、B關于直線y=ax對稱，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

ka=-1① y1+y2=k(x1+x2)+2② y1+y2 2 =a• x1+x2 2 ③

，由此能夠推導出不存在實數k，使A、B關于直線y=ax對稱．

解答：解：（1）由拋物線y²=2

3

x-4，即y²=2

3

（x-

2

3

），可知拋物線頂點為（

2

3

，0），準線方程為x=

3

6

．
在雙曲線C中，中心在原點，右焦點（

2

3

，0），
右準線x=

3

6

，∴

c= 2 3 a2 c = 3 6 c2=a2+b2

?

a= 3 3 b=1 c= 2 3 3

∴雙曲線C的方程3x²-y²=1
（2）由

y=2x+1 3x2-y2=1

?3x²-（2x+1）²=1?x²+4x+2=0∴|AB|=2

10

（3）假設存在實數k，使A、B關于直線y=ax對稱，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

ka=-1① y1+y2=k(x1+x2)+2② y1+y2 2 =a• x1+x2 2 ③

由

y=kx+1 y2=3x2-1?(3-k2)x2-2kx-2=0④

由②③，有a（x₁+x₂）=k（x₁+x₂）+2 ⑤
由④知：x₁+x₂=

2k

3-k2

代入⑤
整理得ak=3與①矛盾，故不存在實數k，使A、B關于直線y=ax對稱．

點評：本題考查雙曲線方程的求法、求弦長和判斷是否存在存在滿足條件的實數k．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．