Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的圓心在軸右側，原點和點都在圓上，且圓在軸上截得的線段長度為3．

（1）求圓的方程；

（2）若，為圓上兩點，若四邊形的對角線的方程為，求四邊形面積的最大值；

（3）過點作兩條相異直線分別與圓相交于，兩點，若直線，的斜率分別為，，且，試判斷直線的斜率是否為定值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是定值，理由詳見解析．

【解析】

（1）設出圓的一般方程代入三點坐標，可得圓方程，配方后可得圓標準方程；

（2）求出圓心到直線的距離，由勾股定理求得弦長，由小于半徑得的一個范圍，由在直線兩側又得一個范圍，綜合即得的取值范圍，然后分別求出到直線的距離，得四邊形面積，可得最大值．

（3）設，與圓方程聯立，由于直線與圓的一個交點為，因此由韋達定理可求得點坐標，同理可得點坐標，計算即得．

（1）由已知圓過，，三點

設圓方程為，則有

，解得

所以圓方程為，即．

（2）由（1）可知，半徑，

則到距離，

所以，

當且僅當時取等號，

由解得；

由，在兩側，，，

所以，

到距離，到距離，

所以四邊形的面積，

所以時，四邊形面積最大為．

（3）由題意可設

由可得，

設，則，

所以，，

同理，

因為，所以，

所以為定值．