Question

【題目】已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且當(dāng)x＞0，f（x）＜0．

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①f（0）=0；②f（x）為偶函數(shù)；

③f（x）為R上減函數(shù)；④f（x）為R上增函數(shù)．

其中正確的結(jié)論是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)題意，令y=x=0計(jì)算f（0）的值，判斷①正確；

令y=-x，得出f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數(shù)，判斷②錯(cuò)誤；

根據(jù)x＞0，f（x）＜0，x=0時(shí)f（x）=0，x＜0時(shí)，f（x）＞0，

判斷f（x）為R上的減函數(shù)，③正確，④錯(cuò)誤．

解：對(duì)于①，令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0，①正確；

對(duì)于②，令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數(shù)，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，）f（x）是R上的減函數(shù)，證明如下：

任取x1，x2∈R，x1＜x2，則x2﹣x1＞0

∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）<0

∴f（x1）>f（x2）

故f（x）是R上的減函數(shù)．③正確，④錯(cuò)誤．

綜上，其中正確的結(jié)論是①③．

故選：A．