Question

由半橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）與半橢圓

x2

b2

+

y2

c2

=1（x≤0）合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0．由右橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）的焦點F₀和左橢圓

x2

b2

+

y2

c2

=1（x≤0）的焦點F₁，F₂確定的△F₀F₁F₂叫做果圓的焦點三角形，若果圓的焦點三角形為銳角三角形，則右橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）的離心率的取值范圍為（　　）

A．( 1 3 ，1)

B．( 2 3 ，1)

C．( 3 3 ，1)

D．(0， 3 3 )

Answer 1

連結F₀F₁、F₀F₂，
根據“果圓”關于x軸對稱，可得△F₁F₀F₂是以F₁F₂為底面的等腰三角形，
∵△F₀F₁F₂是銳角三角形，
∴等腰△F₀F₁F₂的頂角為銳角，即∠F₁F₀F₂∈（0，

π

2

）．
由此可得|0F₀|＞|0F₁|，
∵|0F₀|、|0F₁|分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1、

x2

b2

+

y2

c2

=1的半焦距，
∴c＞

b2-c2

，平方得c²＞b²-c²，
又∵b²=a²-c²，∴c²＞a²-2c²，解得3c²＞a²，
兩邊都除以a²，得3•(

c

a

)2＞1，解之得

c

a

＞

3

3

．
∵右橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）的離心率e=

c

a

∈（0，1），
∴所求離心率e的范圍為（

3

3

，1）．
故選：C