Question

【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）．

【解析】試題分析；（1）根據(jù)，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，即可求出的單調(diào)性；（2）令，對(duì)求導(dǎo)后，對(duì)進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)性，然后求出，即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ， ，

由于，故當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增．

（2）令 ，

則，

∵當(dāng)時(shí)， 恒成立，

①若，則時(shí)， ， ，

此時(shí)不恒成立；

②若，由時(shí)， 恒成立，

則，則，

令，得或，

（ⅰ）若，則，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

而，∴當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)不恒成立；

（ⅱ）若，則，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

∴，此時(shí)恒成立；

（ⅲ）若，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

有，此時(shí)恒成立，

綜上所述， ．

點(diǎn)睛:這個(gè)題目考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，在研究函數(shù)最值的應(yīng)用；對(duì)于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù).