Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， 、分別為、的中點， ， .

（1）求證： 平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）設為邊的中點，連接， ，∵， 分別為， 的中點，根據三角形中位線定理以及題設條件可證明四邊形為平行四邊形，可得，從而根據線面平行的判定定理可得結論；（2）先證明平面，知，從而可得三角形的面積為，三角形的面積為，利用等積變換可得 .

試題解析：（1）設為邊的中點，連接，

∵， 分別為， 的中點，

∴， ，

又∵， ，

∴， ，

∴ 四邊形為平行四邊形.

∴，

又平面， 平面，

∴平面，

（2）在直三棱柱中，

又，

平面， 平面， ，

∴平面，

知，可得三角形的面積為，三角形的面積為，

由（1）平面知： 到平面的距離等于到平面的距離

∴ .

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.