Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線的斜率；

（Ⅱ）判斷方程（為的導數）在區間內的根的個數，說明理由；

（Ⅲ）若函數在區間內有且只有一個極值點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導.根據導數的幾何意義可得.

（Ⅱ）設， .

由的單調性及因為， ,可知有且只有一個，使成立.即方程在區間內有且只有一個實數根.

（Ⅲ）若函數在區間內有且只有一個極值點，由于，即在區間內有且只有一個零點，且在兩側異號.

由的單調性可知函數在處取得極大值.

當時，雖然函數在區間內有且只有一個零點，但在 兩側同號，不滿足在區間內有且只有一個極值點的要求.

若函數在區間內有且只有一個零點，且在兩側異號，

則只需滿足： .即可得到的取值范圍

試題解析：

（Ⅰ）. .

（Ⅱ）設， .

當時， ，則函數為減函數.

又因為， ,

所以有且只有一個，使成立.

所以函數在區間內有且只有一個零點，即方程在區間內有且只有一個實數根.

（Ⅲ）若函數在區間內有且只有一個極值點，由于，即在區間內有且只有一個零點，且在兩側異號.

因為當時，函數為減函數，所以在上， ，即成立，函數為增函數；

在上， ，即成立，函數為減函數.

則函數在處取得極大值.

當時，雖然函數在區間內有且只有一個零點，但在 兩側同號，不滿足在區間內有且只有一個極值點的要求.

由于 ，顯然.

若函數在區間內有且只有一個零點，且在兩側異號，

則只需滿足：

.即，解得.