Question

如圖，兩條相交線段、的四個端點都在橢圓上，其中，直線的方程為，直線的方程為．

（1）若，，求的值；
（2）探究：是否存在常數，當變化時，恒有？

Answer 1

(1)   (2)

試題分析：
(1)聯立直線與橢圓方程可以求出的坐標,設出A點的坐標,且滿足A點在橢圓上和,即根據AB為角平分線且與x軸垂直可得AP與AQ所在直線的傾斜角互為補角(斜率互為相反數),故兩條件聯立即可求出m的值.
(2) 聯立直線與橢圓方程得到關于的坐標的韋達定理,由(1)這種特殊情況可得滿足題意的只可能是,故一一帶入驗證是否能使得即可.
試題解析：
（1）由，
解得，．            2分
因為，所以．
設，則，
化簡得，          5分
又，聯立方程組，解得，或．
因為平分，所以不合，故．           7分
（2）設，，由，得．
，，．            9分
若存常數，當變化時，恒有，則由（Ⅰ）知只可能．
①當時，取，等價于，
即，
即，
即，此式恒成立．
所以，存常數，當變化時，恒有．          13分
②當時，取，由對稱性同理可知結論成立．
故，存常數，當變化時，恒有．          15分