Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．

(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點P(0，1)，Q(0，2)．設M、N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上．

Answer 1

（1）＝1.（2）見解析

(1)解：由題意知b＝＝.
因為離心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.
所以橢圓C的方程為＝1.
(2)證明：由題意可設M，N的坐標分別為(x₀，y₀)，(－x₀，y₀)，則直線PM的方程為y＝x＋1，①
直線QN的方程為y＝x＋2.②
(證法1)聯立①②解得x＝，y＝，即T.
由＝1可得＝8－4.
因為
＝＝1，所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．
(證法2)設T(x，y)．聯立①②解得x₀＝，y₀＝.
因為＝1，所以＝1.整理得＝(2y－3)²，所以－12y＋8＝4y²－12y＋9，即＝1.
所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．