Question

在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點B、C的坐標為B(－2，0)，C(2，0)，直線AB，AC的斜率乘積為，設頂點A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設曲線E與y軸負半軸的交點為D，過點D作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，這兩條直線與曲線E的另一個交點分別為M，N．設l₁的斜率為k(k≠0)，△DMN的面積為S，試求的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）由于所求動點A滿足直線AB，AC的斜率乘積為，所以直接設A的坐標，代入化簡整理即得：，注意到△ABC中三個頂點不能共線，所以需去掉與軸相交的點，（2）要求的取值范圍，首先求出函數解析式，由題意確定l₁的斜率為k為自變量，因為M 為l₁與曲線E的交點，所以列方程組解出點M坐標，從而得出弦長；同理，只需將代k就可得到，因此△DMN的面積S＝，所以＝，這可以看作關于1＋k²的一個分式函數，即，可以利用函數單調性求出其取值范圍.
試題解析：解（1）設頂點A的坐標為(x，y)，則k_AB＝，k_AC＝ 2分
因為k_AB×k_AC＝，所以，  即．（或x²＋4y²＝4）.
所以曲線E的方程為．           4分
（2）曲線E與y軸負半軸的交點為D(0，－1)．
因為l₁的斜率存在，所以設l₁的方程為y＝kx－1， 代入，得
從而 6分
用代k得
所以△DMN的面積S＝ 8分
則＝
因為k≠0且，k≠±2，令1＋k²＝t，
則t＞1，且，t≠5，
從而＝
因為，且，
所以且，
從而且，，
即∈                 10分.