Question

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P為橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線＝1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

Answer 1

若M、N是雙曲線：＝1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．

類似的性質為：若M、N是雙曲線：＝1上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P位置無關的定值．證明如下：
設點M的坐標為(m，n)，則點N的坐標為(－m，－n)，其中＝1.
又設點P的坐標為(x，y)，由k_PM＝，k_PN＝，得k_PM·k_PN＝·＝，
將y²＝x²－b²，n²＝m²－b²代入得k_PM·k_PN＝.