Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且點M和N分別為B1C和D1D的中點．

（Ⅰ）求證：MN∥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角D1－AC－B1的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱A1B1上的點．若直線NE和平面ABCD所成角的正弦值為，求線段A1E的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析 （Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，依題意可得A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，－2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，－2，2），又因為M，N分別為B1C和D1D的中點，得 M，N（1，－2，1）．

（Ⅰ）依題意，可得n＝（0，0，1）為平面ABCD的一個法向量，＝，

由此可得，n＝0，又因為直線MN平面ABCD，

所以MN∥平面ABCD．

（Ⅱ）＝（1，－2，2），＝（2，0，0），

設n1＝（x1，y1，z1）為平面ACD1的法向量，則

即

不妨設z1＝1，

可得 n1＝（0，1，1），

設n2＝（x2，y2，z2）為平面ACB1的一個法向量，

則又＝（0，1， 2），得

，不妨設z2＝1，可得n2＝（0，－2，1）．

因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，

于是sin〈n1，n2〉＝，

所以二面角D1－AC－B1的正弦值為．

（Ⅲ）依題意，可設，其中λ∈[0，1]，則E（0，λ，2），從而＝（－1，λ＋2，1），又n＝（0，0，1）為平面ABCD的一個法向量，由已知得

cos〈，n〉＝＝＝，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因為λ∈[0，1]，解得λ＝－2，

所以線段A1E的長為－2．