Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的定義域，并判斷的奇偶性；

（2）如果當時，的值域是，求與的值；

（3）對任意的，，是否存在，使得，若存在，求出；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，1），f（x）是奇函數；（2），t=﹣1；（3）存在，.

【解析】

（1）直接由真數大于0，解分式不等式可得函數的定義域，利用定義判斷函數的奇偶性；

（2）給出的函數是對數型的復合函數，經分析可知內層分式函數為減函數，外層對數函數也為減函數，要保證當時，的值域是，首先應有，，，且當時，，結合內層函數圖象及單調性可得，且，從而求出和的值；

（3）假設存在，使得，代入對數式后把用，表示，只要能夠證明在定義域內即可，證明可用作差法或分析法．

解：（1）要使原函數有意義，則，解得，

所以，函數的定義域

是定義域內的奇函數．

證明：對任意，有

所以函數是奇函數．

（2）由知，函數在上單調遞減，

因為，所以在上是增函數

又因為時，的值域是，所以，，

且在的值域是，

故且

由得：，解得或（舍去）．

所以，

（3）假設存在使得

即

則，

解得，

下面證明．

證明：由．

，，，，

，即，．

所以存在，使得．